POZIOM ROZSZERZONY

 Zadanie   (5pkt)
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym $ABCDE$ punkt O jest środkiem symetrii podstawy ostrosłupa. Stosunek obwodu podstawy $ABCD$ do sumy długości wszystkich krawędzi ostrosłupa jest równy $1\colon5$. Przez przekątną $AC$ podstawy i środek $S$ krawędzi bocznej $BE$ poprowadzono płaszczyznę.
Oblicz stosunek pola otrzymanego przekroju do pola podstawy ostrosłupa oraz miarę kąta $BSO$ (w zaokrągleniu do $1^{\circ}$). Zapisz obliczenia.
Wskazówka. Skorzystaj z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych (Wybrane wzory matematyczne, strona $34$).
Odpowiedź
Z treści zadania mamy $\frac{4a}{4a+4b}=\frac{1}{5}$, co daje $b=4a$.
$a^2=16a^2+16a^2-2\cdot 4a\cdot 4a\cdot \cos|\angle BEC|$
$\cos|\angle BEC|=\frac{31}{32}$
$|SC|^2=b^2+(\frac{1}{2}b)^2-2\cdot\frac{1}{2}b\cdot b\cdot\cos|\angle BEC|$
$|SC|=\frac{3a}{\sqrt{2}}$
$|OS|^2=|SC|^2-(\frac{\sqrt{2}a}{2})^2$
$|OS|^2=\frac{9}{2}a^2-\frac{1}{2}a^2$
$|OS|=2a$

Informator CKE