POZIOM ROZSZERZONY

 Zadanie 1  (5pkt)
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym $ABCDE$ punkt O jest środkiem symetrii podstawy ostrosłupa. Stosunek obwodu podstawy $ABCD$ do sumy długości wszystkich krawędzi ostrosłupa jest równy $1\colon5$. Przez przekątną $AC$ podstawy i środek $S$ krawędzi bocznej $BE$ poprowadzono płaszczyznę.
Oblicz stosunek pola otrzymanego przekroju do pola podstawy ostrosłupa oraz miarę kąta $BSO$ (w zaokrągleniu do $1^{\circ}$). Zapisz obliczenia.
Wskazówka. Skorzystaj z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych (Wybrane wzory matematyczne, strona $34$).
Odpowiedź
Z treści zadania mamy $\frac{4a}{4a+4b}=\frac{1}{5}$, co daje $b=4a$.
$a^2=16a^2+16a^2-2\cdot 4a\cdot 4a\cdot \cos|\angle BEC|$
$\cos|\angle BEC|=\frac{31}{32}$
$|SC|^2=b^2+(\frac{1}{2}b)^2-2\cdot\frac{1}{2}b\cdot b\cdot\cos|\angle BEC|$
$|SC|=\frac{3a}{\sqrt{2}}$
$|OS|^2=|SC|^2-(\frac{\sqrt{2}a}{2})^2$
$|OS|^2=\frac{9}{2}a^2-\frac{1}{2}a^2$
$|OS|=2a$

Informator CKE
 Zadanie 2  (3pkt)
Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o krawędzi długości $a$. Punkt $P$ jest środkiem krawędzi $CG$ tego sześcianu (zobacz rysunek poniżej).

Oblicz odległość tego wierzchołka $C$ od płaszczyzny zawierającej punkty $B, D$ oraz $P$.
Zapisz obliczenia.
Odpowiedź $|PS|^2=(\frac{1}{2} a\sqrt{2})^2+(\frac{1}{2} a)^2\\|PS|=\frac{\sqrt{3}}{2} a$\\co daje $h=\frac{\sqrt{6}}{6}a$.
Informator CKE
 Zadanie 3   (5pkt)
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny $ABCD$ o podstawie $ABC$. Płaszczyzna zawierająca krawędź $AB$ podstawy i prostopadła do krawędzi bocznej $CD$ przecina tę krawędź w punkcie $E$, przy czym $\frac{|CE|}{|DE|}=\frac{3}{11}$ .
Oblicz stosunek pola powierzchni całkowitej tego ostrosłupa do pola podstawy $ABC$. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź Stosunek $\eta$ pola powierzchni całkowitej ostrosłupa do pola podstawy ABC ostrosłupa: $\eta = \frac{P_b+P_p}{P_p}=\frac{105\sqrt{3}x^2+21\sqrt{3}x^2}{21\sqrt{3}x^2}=6$.
Matura czerwiec 2025 poziom rozszerzony
 Zadanie 4   (2pkt)
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o polu powierzchni całkowitej równym $24\sqrt{3}$.
Wykaż, że objętość $V$ graniastosłupa w zależności od długości $a$ krawędzi podstawy jest określona wzorem
$V(a)=6a-\frac{1}{8}a^3$.
Odpowiedź Objętość V graniastosłupa jest równa $V=\frac{a^2\cdot \sqrt{3}}{4}\cdot H=\frac{a^2\cdot \sqrt{3}}{4}\cdot \frac{48\sqrt{3}-a^2\cdot \sqrt{3}}{6a}=6a-\frac{1}{8}a^3$. To należało wykazać.

Matura czerwiec 2025 poziom rozszerzony
 Zadanie 5   (5pkt)
Podstawą ostrosłupa $ ABCDS$ jest kwadrat $ABCD$. Krawędź boczna $SA$ jest wysokością ostrosłupa, natomiast krawędź podstawy ma długość $3\sqrt{34}$. Cosinus kąta $\beta$ między ścianami bocznymi $CDS$ i $BCS$ tego ostrosłupa jest równy $(-\frac{9}{25})$.
Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
Zapisz obliczenia.
Odpowiedź $P_b=918$.

Matura maj 2025 poziom rozszerzony
 Zadanie 6   (2pkt)
Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od $5$, a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa $5$.
Wykaż, że objętość $V$ stożka, jako funkcja wysokości $h$ stożka, wyraża się wzorem
$V(h)=\frac{\pi}{3}\cdot \frac{25 h^3}{h^2-25}$.
Odpowiedź Objętość $V$ stożka jest równa $V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{25h^2}{h^2-25}\cdot h=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{25h^3}{h^2-25}$.
To należało wykazać.

Matura maj 2025 poziom rozszerzony
 Zadanie 7   (3pkt)
Iloczyn długości średnicy podstawy walca i wysokości walca jest równy $12\sqrt{3}$.
Pole powierzchni całkowitej tego walca jest równe $12\pi(\sqrt{3}+1)$.
Oblicz objętość tego walca. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź $V=18\pi\sqrt{2}$

Matura grudzień 2024 poziom rozszerzony
 Zadanie   (4pkt)
Długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa $a$. Sinus kąta między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka graniastosłupa jest równy $\frac{\sqrt{11}}{6}$.
Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Zapisz obliczenia.
Odpowiedź $P=2\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+3\cdot a\cdot a\sqrt{2}=\frac{\sqrt{3}a^2}{2}+3\sqrt{2}a^2$
Matura czerwiec 2024 poziom rozszerzony
 Zadanie   (2pkt)
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości $3456$, których krawędź podstawy ma długość nie większą niż $8\sqrt{3}$.
Wykaż, że pole $P$ powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości $a$ krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem
$P(a)=\frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{2}+\frac{13824\sqrt{3}}{a}$.
Odpowiedź $3456=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H\\H=\frac{4608\sqrt{3}}{a^2}\\P=2\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+3aH\\P=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}+3a\cdot\frac{4608\sqrt{3}}{a^2}\\P(a)=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}+\frac{1384\sqrt{3}}{a}$

Matura maj 2024 poziom rozszerzony
 Zadanie   (6pkt)
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDS$ o podstawie $ABCD$ i polu powierzchni bocznej równym $P$. Kąt między wysokościami sąsiednich ścian bocznych poprowadzonych z wierzchołka $S$ ma miarę $2\alpha$.
Objętość tego ostrosłupa jest równa $\sqrt{k\cdot P^3\cdot\sin\alpha\cdot\cos(2\alpha)}$, gdzie $k$ jest stałym współczynnikiem liczbowym.
Oblicz współczynnik $ k$.
Zapisz obliczenia.
Odpowiedź $k=\frac{\sqrt{2}}{36}$
Matura marzec 2022 poziom rozszerzony
 Zadanie   (2pkt)
Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma wysokości $H$ ostrosłupa oraz promienia $R$ okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest równa $6$.
Wykaż, że objętość $V$ każdego z takich ostrosłupów w zależności od długości $R$ promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest określona wzorem
$V(R)=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot(6R^2-R^3)$
Odpowiedź
Matura czerwiec 2024 poziom rozszerzony
 Zadanie   (4pkt)
Objętość $V$ ostrosłupa w zależności od długości $ R$ promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest określona wzorem
$V(R)=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot(6R^2-R^3)$
dla $R\in(0,6)$.
Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na podstawie tego z rozważanych ostrosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.
Zapisz obliczenia.
Odpowiedź Funkcja $V$ osiąga wartość największą dla $R=4$ i wtedy $V(4)=8\sqrt{3}$.

Matura czerwiec 2024 poziom rozszerzony
 Zadanie   (5pkt)
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny$ ABCDS$ o podstawie $ABCD$. Krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość $a$. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze $\alpha$ takim, że $\cos\alpha=\frac{\sqrt{10}}{10}$. Przez krawędź $BC$ podstawy ostrosłupa poprowadzono płaszczyznę $\pi$ prostopadłą do ściany bocznej $SAD$.
Sporządź rysunek tego ostrosłupa, zaznacz na rysunku przekrój wyznaczony przez płaszczyznę $\pi$ i nazwij figurę, która jest tym przekrojem. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
$P_{przekroju}=\frac{a+0,8a}{2}\cdot\frac{3\sqrt{10}}{10}a=0,9a\cdot\frac{3\sqrt{10}}{10}a=\frac{27\sqrt{10}}{100}a^2$
Matura grudzień 2022 poziom rozszerzony