POZIOM ROZSZERZONY

 Zadanie 1   (4pkt)
Wielomian $f$ zmiennej rzeczywistej x jest określony wzorem $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$, gdzie $a, b, c\in\mathscr{R}$. Liczba $(-2)$ jest miejscem zerowym tego wielomianu. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ styczna do wykresu wielomianu $f$ w punkcie $A$ o pierwszej współrzędnej równej $(-2)$ przecina ten wykres w punkcie $P=(1,9)$.
Wyznacz wzór wielomianu $f$ .Zapisz obliczenia.
Odpowiedź Wielomian $f$ jest określony wzorem $f(x)=x^3+3x^2+3x+2$ lub $f(x)=(x+2)(x^2+x+1)$Matura czerwiec 2025 poziom rozszerzony
 Zadanie 2   (3pkt)
Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{3x^2-2x}{x^2+2x+8}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Punkt $P=(x_0, 3)$ należy do wykresu funkcji $f$.
Oblicz $x_0$ oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P $.
Zapisz obliczenia.
Odpowiedź $x_0=-3\\
y=-\frac{8}{11}x+\frac{9}{11}$
 Zadanie 3   (3pkt)
Funkcja f jest określona wzorem $f(x)=2x^3-4x^2+9x$ dla każdego $x\in\mathscr{R} \\ $.Punkt $P=(x_0,18)$ należy do wykresu funkcji $f$.
Oblicz $x_0$ oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P$. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź $x_0=2 \\ y=17x-16$Matura czerwiec 2024 poziom rozszerzony
 Zadanie 4   (3pkt)
Funkcja $f$ jest określona wzorem
$f(x)=\frac{x^3-3x+2}{x}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od zera. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ punkt $P$, o pierwszej współrzędnej równej $2$, należy do wykresu funkcji $f$. Prosta o równaniu $y=ax+b$ jest styczna do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P$.
Oblicz współczynniki $a$ oraz $b$ w równaniu tej stycznej. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź $a=\frac{7}{2}, b=-5$

Matura maj 2024 poziom rozszerzony
 Zadanie 5   (3pkt)
Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{2x+1}{x-4}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq4$. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ punkt $P=(x_0,5)$ należy do wykresu funkcji $f$.
Oblicz $x_0$ oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P$. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź $x_0=7
y=-x+12$

Matura czerwiec 2024 poziom rozszerzony
 Zadanie 6   (3pkt)
Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{x^2+3}{x-1}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq1$
Wyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie $P=(-3,-3)$.
Zapisz obliczenia.
Odpowiedź $y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}$

Matura marzec 2022 poziom rozszerzony
 Zadanie 7   (6pkt)
Prosta k o równaniu $x+y-9=0$ przecina parabolę o równaniu
$y=\frac{1}{4}x^2-\frac{3}{2}x+\frac{1}{4}$ w punktach$ A$ oraz $B$. Pierwsza współrzędna punktu $A$ jest liczbą dodatnią; pierwsza współrzędna punktu B jest liczbą ujemną. Prosta $l$ jest równoległa do prostej $k$ i styczna do danej paraboli w punkcie $C$.
Oblicz odległość punktu $C$ od prostej $k$ oraz pole trójkąta$ ABC$.
Zapisz obliczenia.
Odpowiedź $C=(1,-1)
P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot |AB|\cdot4_c=\frac{1}{2}\cdot12\sqrt{2}\cdot\frac{9}{\sqrt{2}}=54$

Matura grudzień 2022 poziom rozszerzony
 Zadanie 8  (3pkt)
Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{3x}{x+1}$ dla każego $x\in(-1,+\infty)$.
Wykaż, że $ f$ jest funkcją rosnącą.
Odpowiedź Funkcja $f$ jest różniczkowalna w przedziale $(-1,+\infty)$, a jej pochodna jest w każdym punkcie tego przedziału dodatnia. Zatem funkcja $f$ jest w tym przedziale rosnąca. To kończy dowód.

Informator CKE