| Zadanie 1 (5pkt) Dany jest trapez prostokątny $ABCD$ o kątach prostych przy wierzchołkach $A$ i $D$. Ramię $BC$ trapezu ma długość $5$. W ten trapez wpisano okrąg o środku w punkcie $S$ i promieniu $2$. Punkt $P$ jest punktem styczności tego okręgu i dłuższej podstawy $AB$ tego trapezu (zobacz rysunek).  Wykaż, że trójkąty $BPS$ i $BSC$ są trójkątami podobnymi, oraz oblicz skalę tego podobieństwa. Zapisz obliczenia. |
Odpowiedź Punkt $S$ jest równooddalony od boków $AB$ i $BC$ trapezu jako środek okręgu wpisanego w trapez, więc wysokość trapezu jest równa $4$. $|BG|^2+4^2=5^2\\|BG|=3\\|GP|=|FC|\\|AD|+|BC|=|AB|+|CD|\\4+5=|AP|+|FC|+|BG|+|FC|+|DF|\\|FC|=1$  Zatem $|PB|=|PG|+|GB|=4\\|BP|^2+|PS|^2=|BS|^2$Z twierdzenia o odcinkach stycznych $|CE|=|FC|$,więc $|CE|=1$\\$|CS|=\sqrt{5}\\ \frac{|BC|}{|BS|}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$ oraz $\frac{|CS|}{|PS|}=\frac{\sqrt{5}}{2}$ oraz $\frac{|BS|}{|BP|}=\frac{2\sqrt{5}}{4}=\frac{\sqrt{5}}{2}$. Skala podobieństwa trójkątów BPS oraz BSC jest równa $k=\frac{|BC|}{|BS|}=\frac{\sqrt{5}}{2}$.Informator CKE |
| Zadanie 2 (4pkt) Na czworokącie wypukłym ABCD o bokach długości: $|AB|=3, |BC|=3, |CD|=5$ oraz $|DA|=8$, opisano okrąg. Oblicz promień tego okręgu. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie 3 (3pkt) Dany jest prostokąt ABCD, w którym $|AB|=2\cdot |AD|$. Na bokach $AB$, $BC$, $CD$ oraz $DA$ tego prostokąta obrano punkty – odpowiednio – $K$, $L$, $M$ oraz $N$ (przy czym każdy z tych punktów leży na dokładnie jednym boku prostokąta $ABCD$). Czworokąt $KLMN$ jest trapezem prostokątnym (zobacz rysunek), a wysokość $LM$ tego trapezu jest równoległa do przekątnej $BD$ prostokąta.  Wykaż, że stosunek pola trójkąta $MDN$ do pola trójkąta $KBL$ jest równy $16$. |
| Zadanie 4 (4pkt) W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ punkt $E$ jest środkiem ramienia $AD$, a punkt $F$ jest środkiem ramienia $BC$ trapezu. Stosunek pola trapezu $EFCD$ do pola trapezu $ABFE$ jest równy $\frac{1}{2}$ . Wykaż, że $\frac{|CD|}{|AB|}=\frac{1}{5}$. |
| Zadanie 5 (3pkt) W trójkącie równobocznym $ABC$ punkt $D$ leży na boku $BC$. Stosunek pola trójkąta $ABD$ do pola trójkąta $ADC$ jest równy $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ . Oblicz miarę kąta $DAC$. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie 6 (5pkt) W trójkącie ostrokątnym $ABC$ miara kąta $BAC$ jest dwa razy większa od miary kąta $ABC$. Punkt $D$ jest środkiem boku $ AB$. Niech $\alpha$ oznacza miarę kąta $ABC$, natomiast $\beta$ – miarę kąta $ADC$ (zobacz rysunek).  Oblicz $\frac{tg\beta}{\sin(2\alpha)}$. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie 7 (2pkt) Okrąg $\partial$ jest styczny do boków $AC$ i $BC$ trójkąta $ABC$ oraz przecina bok $AB$ tego trójkąta w punktach $M$ oraz $N$, przy czym $0<|AM|<|AN|<|AB|$. Wykaż, że jeśli $|AM|=|BN|$, to trójkąt $ABC$ jest równoramienny. |
| Zadanie 8 (4pkt) Czworokąt $ABCD$, w którym $|BC|=4$ i $|CD|=5$, jest opisany na okręgu. Przekątna $AC$ tego czworokąta tworzy z bokiem $BC$ kąt o mierze $60^{\circ}$, natomiast z bokiem $AB$ – kąt ostry, którego sinus jest równy $\frac{1}{4}$ . Oblicz obwód czworokąta $ABCD$. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie 9 (5pkt) Czworokąt wypukły $ABCD$ jest wpisany w okrąg o promieniu $4$. Kąty $BAD$ i $BCD$ są proste (zobacz rysunek).  Przekątne $AC$ i $BD$ tego czworokąta przecinają się w punkcie $E$ tak, że $|BE|=3\cdot|DE|$ oraz $|BD|=2\cdot|AE|$. Oblicz długości boków czworokąta $ABCD$. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie 10 (3pkt) Dany jest okrąg $\partial$. Przez punkt $A$ poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – $P$ oraz $Q$. Przez punkt $B$ leżący na odcinku $AP$ poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie $D$, która przecięła odcinek $AQ$ w punkcie $C$. (zobacz rysunek).  Wykaż, że jeżeli $|AQ|=5\cdot|BP|$ oraz $|CD|=2\cdot|BD|$, to trójkąt $ABC$ jest równoramienny. |
| Zadanie 11 (2pkt) Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym $|\angle ABC|=90^{\circ}$ oraz $|\angle CAB|=60^{\circ}$. Punkty $K$ i $L$ leżą na bokach – odpowiednio – $AB$ i $BC$ tak, że $|BK|=|BL|=1$ (zobacz rysunek).  Odcinek $KL$ przecina wysokość $BD$ tego trójkąta w punkcie $N$, a ponadto $|AD|=2$.Wykaż, że $|ND|=\sqrt{3}+1$. |
| Zadanie (4pkt) W trójkącie $ABC$ poprowadzono dwusieczne kątów przecinające boki $BC$, $AC$ i $AB$ tego trójkąta w punktach – odpowiednio – $K, L$ oraz $M$. Punkt $P$ jest punktem przecięcia tych dwusiecznych. Na czworokątach $CLPK$ oraz $BKPM$ można opisać okrąg. Udowodnij, że trójkąt $ABC$ jest równoboczny. |
| Zadanie (4pkt) Dany jest sześcian$ ABCDEFGH$ o krawędzi długości $6$. Punkt $S$ jest punktem przecięcia przekątnych $AH$ i $DE$ ściany bocznej $ADHE$ (zobacz rysunek).  Oblicz wysokość trójkąta $SBH$ poprowadzoną z punktu $S$ na bok $BH$ tego trójkąta. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie (4pkt) W okrąg o promieniu $4$ wpisano trójkąt $ABC$. Długość boku $AB$ jest równa $6$. Bok $BC$ ma długość $4\sqrt{3}$ i jest najdłuższym bokiem tego trójkąta. Oblicz długość boku $AC$ trójkąta $ABC$. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie (3pkt) Długości podstaw trapezu równoramiennego są równe $a$ oraz $ b$, przy czym $a>b$. W ten trapez można wpisać okrąg. Wykaż, że pole tego trapezu jest większe od $a\cdot b$. |
| Zadanie (4pkt) Dany jest trójkąt $A$,$B$,$C$, który nie jest równoramienny. W tym trójkącie miara kąta $ABC$ jest dwa razy większa od miary kąta $BAC$. Wykaż, że długości boków tego trójkąta spełniają warunek |
| Zadanie (4pkt) Dany jest kwadrat $ABCD$ o boku długości. Punkt $E$ jest środkiem boku $CD$. Przekątna $BD$ dzieli trójkąt $ACE$ na dwie figury: $AGF$ oraz $CEFG$ (zobacz rysunek).  Oblicz pola figur $AGF$ oraz $CEFG$. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie (4pkt) Dany jest trapez równoramienny $ABCD$ o obwodzie $l$ i podstawach $AB$ oraz $CD$ takich, że $|AB|>|CD|$. Trapez jest opisany na okręgu i wpisany w okrąg, a przekątna $AC$ trapezu ma długość $d$ (zobacz rysunek).  Wykaż, że promień $R$ okręgu opisanego na trapezie $ABCD$ jest równy $\frac{d\cdot l}{2\sqrt{16d^2-l^2}}$. |
| Zadanie (6pkt) Cztery miasta A, B, C i D znajdują się w wierzchołkach kwadratu o boku $300$ km. Pewna firma dostała zlecenie na zaprojektowanie sieci dróg, która będzie łączyć każde dwa z tych miast. Sieć ma posiadać dwa węzły, a łączna długość dróg w sieci ma być możliwie najmniejsza. Przykład sieci dróg z dwoma węzłami, łączącej każde dwa z miast, przedstawiono na poniższym rysunku). 
Oblicz, jaka musi być długość najkrótszej takiej sieci dróg i gdzie muszą być zlokalizowane węzły tej sieci. Zapisz obliczenia. |
Odpowiedź Najkrótsza sieć dróg ma długość $300(1+\sqrt{3})$ km i składa się z $5$ odcinków:
$AK^\prime, K^\prime L^\prime, L^\prime C, BL^\prime$ i $DK^\prime$. Węzeł $K^\prime$ jest równo oddalony (w odległości $100\sqrt{3}$ km) od miast A i D, natomiast węzeł $L^\prime$ jest równo oddalony (w odległości $100\sqrt{3}$ km) od miast B i C. (zobacz rysunek $2$.). Informator CKE |
