POZIOM ROZSZERZONY

 Zadanie   (4pkt)
Firma X wytwarza pewien produkt $D$. Badania rynku pokazały, że związek między ilością $Q$ produktu $D$, jaką firma jest w stanie zbyć na rynku, a ceną $P$ produktu jest następujący:
$P(Q)=90-0,1Q $ dla $ Q\in[0, 900]$,
gdzie $P$ jest ceną za jednostkę produktu w złotych, a $Q$ – ilością produktu w tys. sztuk.
Koszty $K$ wytworzenia produktu $D$ zależą od ilości $Q$ wytwarzanego produktu następująco:
$K(Q)=0,002Q^3+Q^2+29,9985Q+50$
gdzie $K$ jest kosztem produkcji w tys. zł.
Oblicz, przy jakiej wielkości produkcji firma X osiąga największy dochód. Wynik podaj zaokrąglony z dokładnością do $100$ sztuk.
Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
$Z(Q)=-0,002Q^3-1,1Q^2+60,0015Q-50$
$Z^\prime(Q)=-0,006Q^2-2,2Q+60,0015$ dla $Q\in[0,900]$
$Q_1=\frac{2,2-\sqrt{6,280036}}{2\cdot(-0,006)}=25,5$
$(Q_2<0)$ Zatem funkcja $Z$ przyjmuje największą wartość dla argumentu $Q_1=25,5$. Dochód firmy jest największy przy wielkości produkcji $25500$ sztuk. Informator CKE