POZIOM ROZSZERZONY
| Zadanie 1 (4pkt) Firma X wytwarza pewien produkt $D$. Badania rynku pokazały, że związek między ilością $Q$ produktu $D$, jaką firma jest w stanie zbyć na rynku, a ceną $P$ produktu jest następujący: $P(Q)=90Q-0,1Q^2 $ dla $ Q\in[0, 900]$, gdzie $P$ jest ceną za jednostkę produktu w złotych, a $Q$ – ilością produktu w tys. sztuk. Koszty $K$ wytworzenia produktu $D$ zależą od ilości $Q$ wytwarzanego produktu następująco: $K(Q)=0,002Q^3+Q^2+29,9985Q+50$ gdzie $K$ jest kosztem produkcji w tys. zł. Oblicz, przy jakiej wielkości produkcji firma X osiąga największy dochód. Wynik podaj zaokrąglony z dokładnością do $100$ sztuk. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie 2 (4pkt) Tomek i Marek chcą wejść docelowo na szczyt S pewnej góry. W chwili początkowej znajdują się w punkcie P położonym na stoku góry dokładnie na północ od szczytu na wysokości $H_0$ metrów n.p.m. Tomek i Marek chcą dotrzeć do bazy B znajdującej się dokładnie na południe od szczytu na przeciwległym południowym stoku góry na wysokości $H_1$ metrów n.p.m., a następnie z bazy wejść na szczyt leżący na wysokości $H_2$ metrów n.p.m. (zobacz rysunek 1.).  Oblicz długość najkrótszej drogi, jaką muszą pokonać, aby dotrzeć do bazy. Zapisz obliczenia. Przyjmij, że góra jest stożkiem o kącie rozwarcia a. Wskazówka: Powierzchnia boczna stożka po rozcięciu wzdłuż tworzącej i rozłożeniu jest wycinkiem koła. Najkrótsza droga do bazy odpowiada najkrótszej drodze z punktu P do B na wycinku koła. |
Odpowiedź: $\pi\cdot R\cdot l=\frac{\beta}{2\pi}\cdot \pi\cdot l^2\\ \beta=2\pi\cdot \frac{R}{l}\\|\angle BSP|=\frac{1}{2}\beta=\pi\cdot \frac{R}{l}\\|\angle|BSP|=\pi\cdot \sin\frac{\alpha}{2}.\\|BS|=\frac{|ST|}{\cos \frac{\alpha}{2}}$ oraz $|SQ|=\frac{|SS^\prime|}{\cos\frac{\alpha}{2}}\\|BS|=\frac{H_2-H_1}{\cos\frac{\alpha}{2}}$ oraz $|PS|=|SQ|=\frac{H_2-H_0}{\cos\frac{\alpha}{2}} \\|PB|^2=|PS|^2+|BS|^2-2\cdot |PS|\cdot |BS|\cdot \cos|\angle BSP|\\d=\frac{\sqrt{(H_2-H_0)^2+(H_2-H_1)^2-2(H_2-H_0)(H_2-H_1)\cos(\pi\cdot \sin\frac{\alpha}{2}}}{\cos\frac{\alpha}{2}}$
Informator CKE |
| Zadanie 3 (4pkt) Na rysunku poniżej przedstawiono położenie miejscowości A, B i C oraz zaznaczono odległości między nimi. O godzinie $9\colon00$ z miejscowości A do C wyruszył zastęp harcerzy ,,Tropiciel” i przemieszczał się z prędkością $4$ km/h. O tej samej godzinie z miejscowości B do A wyruszył zastęp harcerzy ,,Korsarze” i przemieszczał się z prędkością $2$ km/h.  Wyznacz godzinę, o której odległość między tymi zastępami harcerzy będzie najmniejsza. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie 4 (4pkt) Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o polu powierzchni całkowitej równym $24\sqrt{3}$. Objętość $V$ graniastosłupa w zależności od długości a krawędzi podstawy jest określona wzorem $V(a)=6a-\frac{1}{8}a^3$ dla $a\in(0,4\sqrt{3})$. Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie 5 (4pkt) Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od $5$, a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa $5$. Objętość $V$ stożka, jako funkcja wysokości h stożka, wyraża się wzorem $V(h)=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{25h^3}{h^2-25}$ dla $h\in(5,+\infty)$. Wyznacz wysokość tego z rozważanych stożków, którego objętość jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą objętość. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie 6 (2pkt) Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{12x-84}{x-8}$ dla każdego $x\in(-\infty, 8)$. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ rozważamy wszystkie czworokąty $OBCD$, w których: $\bullet$ wierzchołek $O$ ma współrzędne $(0,0)$ $\bullet$ wierzchołki $B$ oraz $D$ są punktami przecięcia wykresu funkcji $f$ z osią – odpowiednio – $Ox$ i $Oy$ $\bullet$ wierzchołek $C$ ma obie współrzędne dodatnie i leży na wykresie funkcji $f$ (zobacz rysunek).  Oblicz współrzędne wierzchołka $C$, dla których pole czworokąta OBCD jest największe. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie 7 (4pkt) Rozpatrujemy wszystkie takie prostopadłościany, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa $80$, pole powierzchni całkowitej jest równe $256$ i długości wszystkich krawędzi są nie mniejsze niż $4$. Objętość $V$ każdego z rozpatrywanych prostopadłościanów można wyrazić za pomocą funkcji $V(c)=c^3-20c^2+128c$, gdzie $c\in[4,\frac{28}{3}]$ jest długością jednej z krawędzi bryły. Oblicz objętość tego spośród rozpatrywanych prostopadłościanów, którego objętość jest najmniejsza. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie 8 (4pkt) Olejarnia wytwarza olej ekologiczny. Aby produkcja była opłacalna, dzienna wielkość produkcji musi wynosić co najmniej $480$ litrów i nie może przekroczyć $530$ litrów (ze względu na ograniczone moce produkcyjne). Przy poziomie produkcji $(480+x)$ litrów dziennie przeciętny koszt K (w złotych) wytworzenia jednego litra oleju jest równy $K(x)= \frac{22x^2-621,5x+23430}{480+x}$ gdzie $x\in[0,5]$. Oblicz, ile litrów oleju dziennie powinna wytworzyć olejarnia, aby przeciętny koszt produkcji jednego litra oleju był najmniejszy (z zachowaniem opłacalności produkcji). Oblicz ten najmniejszy przeciętny koszt. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie 9 (6pkt) Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne $ABCDEFGH$, w których odcinek łączący punkt $O$ przecięcia przekątnych $AC$ i $BD$ podstawy $ABCD$ z dowolnym wierzchołkiem podstawy $EFGH$ ma długość $d$ (zobacz rysunek).  a) Wyznacz zależność objętości $V$ graniastosłupa od jego wysokości $h$ i podaj dziedzinę funkcji $V(h)$. b) Wyznacz wysokość tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie 10 (4pkt) Funkcja $f $ jest określona wzorem $f(x)=81^{\log_3x}+\frac{2\cdot\log_2\sqrt{27}\cdot\log_32}{3}\cdot x^2-6x$ dla każdej liczby dodatniej $x$. Oblicz najmniejszą wartość funkcji $f$ określonej dla każdej liczby dodatniej $x$. Zapisz obliczenia. Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji $f$ można przedstawić w postaci $f(x)=x^4+x^2-6x$. |
| Zadanie 11 (4pkt) Pole $P$ powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości $a$ krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem $P(a)=\frac{a^2\cdot\sqrt{3}}{2}+\frac{13824\sqrt{3}}{a}$\\dla $a\in(0,8\sqrt{3}]$. Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie 12 (4pkt) Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=x^4+0,5\cdot(2x+1)^4$ dla każdego $x\in\mathscr{R}$. Oblicz najmniejszą wartość tej funkcji. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie (6pkt) Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ za pomocą fragmentów wykresów funkcji f oraz g (zobacz rysunek).  Funkcje $f$ oraz g są określone wzorami $f(x)=x^2$ oraz $g(x)=-\frac{1}{2}(x-\frac{1}{2})^2+4$. Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt $P=(-1,1)$. Koniec toru regatowego należy umieścić na linii brzegowej. Oblicz współrzędne punktu $K$, w którym należy zlokalizować koniec toru, aby długość toru (tj. odległość końca $K$ toru od początku $P$) była możliwie największa. Oblicz długość najdłuższego toru. Zapisz obliczenia. Wskazówka. Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu $R$ leżącego na wykresie funkcji $g$ od punktu $P$ wyraża się wzorem $|PR|=\sqrt{\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{2}x^3-\frac{13}{8}x^2+\frac{39}{8}x+\frac{593}{64}}$ gdzie $x$ jest pierwszą współrzędną punktu $R$. |
| Zadanie (4pkt) Syzyf codziennie stoi przed zadaniem wtoczenia ciężkiej kamiennej kuli na szczyt pewnej góry.W chwili $t=0$ znajduje się on w punkcie $\partial$ oddalonym od szczytu o $4$ km, a położenie $x$ Syzyfa wtaczającego kulę jest opisane zależnością $x(t)=-t^3+16,5t^2+180t$ dla $t\in[0,24]\\$, gdzie $x$ jest wyrażone w metrach, a $t$ – w godzinach. Oś $\partial x$ jest skierowana do wierzchołka góry i jest styczna w każdym punkcie do zbocza góry. Oblicz najmniejszą odległość, na jaką Syzyf zbliży się do wierzchołka góry, oraz największą prędkość, z jaką wtacza kamień pod górę. Zapisz obliczenia. 
|
