| Zadanie 1 (4pkt) Rodzinna firma stolarska produkuje małe wiatraki ogrodowe. Na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków stwierdzono, że:
|
| Zadanie 2 (4pkt) Do wyznaczenia trzech boków pewnego kąpieliska w kształcie prostokąta należy użyć liny o długości $200 m$. Czwarty bok tego kąpieliska będzie pokrywał się z brzegiem plaży, który w tym miejscu jest linią prostą (zobacz rysunek).  Oblicz wymiary $𝒂$ i $𝒃$ kąpieliska tak, aby jego powierzchnia była największa. |
| Zadanie 3 (2pkt) Właściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów z $30$ kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę 𝐿 obsługiwanych klientów 𝑛-tego dnia opisuje funkcja $𝐿(𝑛) = −𝑛^2 + 22𝑛 + 279$ gdzie $𝑛$ jest liczbą naturalną spełniającą warunki $𝑛 \geq 1$ i $𝑛 \leq 30$. Którego dnia analizowanego okresu w aptece obsłuzono najwiekszą liczbę klientów? Oblicz liczbę klientów obsłużonych tego dnia. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie 4 (4pkt) Działka ma kształt trapezu. Podstawy $AB$ i $CD$ tego trapezu mają długości $\left|AB\right| = 400$ m oraz $\left|CD\right|=100$ m. Wysokość trapezu jest równa $75$ m, a jego kąty $DAB$ i $ABC$ są ostre. Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie $AB$ tego trapezu, a dwa pozostałe – $E$ oraz $F$– na ramionach $AD$ i $BC$ trapezu (zobacz rysunek).  Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu będzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię. Zapisz obliczenia.Wskazówka: Aby powiązać ze sobą wymiary prostokąta, skorzystaj z tego, że pole trapezu $ABCD$ jest sumą pól trapezów $ABFE$ oraz $EFCD$: $P_{ABCD} = P_{ABFE} + P_{EFCD}$ |
| Zadanie 5 (4pkt) Zakład stolarski produkuje krzesła, które sprzedaje po $196$ złotych za sztukę. Właściciel, na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków, stwierdził, że: – przychód $P$ (w złotych) ze sprzedaży $x$ krzeseł można opisać funkcją $P(x)=196x$ – koszt $K$ (w złotych) produkcji $x$ krzeseł dziennie można opisać funkcją $K(x)=4x^2+4x+240$ Dziennie w zakładzie można wyprodukować co najwyżej $30$ krzeseł.Oblicz, ile krzeseł powinien dziennie sprzedawać zakład, aby zysk ze sprzedaży krzeseł wyprodukowanych przez ten zakład w ciągu jednego dnia był możliwie największy. Oblicz ten największy zysk. Zapisz obliczenia Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów. |
| Zadanie 6 (4pkt) Zgodnie z założeniem architekta okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem. Dłuższa podstawa trapezu ma mieć długość $12$ dm, a suma długości krótszej podstawy i wysokości tego trapezu ma być równa $18$ dm.Oblicz, jaką długość powinna mieć krótsza podstawa tego trapezu, tak aby pole powierzchni okna było największe. Oblicz to pole. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie 7 (4pkt) W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć $36$ metrów bieżących siatki.Oblicz wymiary $x$ oraz $y$ jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów. Zapisz obliczenia.  |
| Zadanie 8 (3pkt) Suma dwóch nieujemnych liczb rzeczywistych $x$ oraz $y$ jest równa $12$. Wyznacz $x$ oraz $y$, dla których wartość wyrażenia $2x^2+y^2$ jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą wartość. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie 9 (4pkt) Rozważamy wszystkie równoległoboki o obwodzie równym $200$ i kącie ostrym o mierze $30^{\circ}$. Podaj wzór i dziedzinę funkcji opisującej zależność pola takiego równoległoboku od długości $x$ boku równoległoboku. Oblicz wymiary tego z rozważanych równoległoboków, który ma największe pole, i oblicz to największe pole. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie 10 (4pkt) Rozważamy wszystkie prostopadłościany $ABCDEFGH$, w których krawędź $AE$ jest $3$ razy dłuższa od krawędzi AB, a suma długości wszystkich dwunastu krawędzi prostopadłościanu jest równa $48$ (zobacz rysunek).  Niech $P(x)$ oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości $x$ krawędzi $AB$. Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji $P$. Oblicz długość $x$ krawędzi $AB$ tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie 31 (2pkt) Hotel ma do dyspozycji gości $80$ pokoi jednoosobowych. Właściciel hotelu przeanalizował wpływ ceny za dobę hotelową na liczbę wynajętych pokoi i stwierdził, że: $\bullet$ przy wyjściowej cenie wynoszącej $120$ zł za jedną dobę hotelową wszystkie pokoje są wynajęte $\bullet$ każdy wzrost ceny za dobę hotelową o $5$ zł skutkuje spadkiem liczby wynajmowanych pokoi o $1$, gdzie x jest liczbą całkowitą spełniającą warunki $x\geq0$ i $x\leq80$. Oblicz, jaka powinna być cena wynajęcia jednoosobowego pokoju (za dobę hotelową), aby dobowy przychód hotelu z wynajmowania pokoi był największy. Zapisz obliczenia. |
