POZIOM PODSTAWOWY

[wpforms id=”39675″]

Cele kształcenia – wymagania ogólne

I. Sprawność rachunkowa. Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych.

II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel. Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych.

III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu. Wskazywanie konieczności lub możliwości modyfikacji modelu matematycznego w przypadkach wymagających specjalnych zastrzeżeń, dodatkowych założeń, rozważenia szczególnych uwarunkowań.

IV. Rozumowanie i argumentacja. Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu. Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności. Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów, gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.

Treści nauczania – wymagania szczegółowe

I. Liczby rzeczywiste

Uczeń:
1)wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych,
2)przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia nie trudniejsze niż: podzielność przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych oraz własność, że jeśli liczba przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3, to jej trzecia potęga przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2.
3)stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych,
4)stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach,
5)stosuje własności monotoniczności potęgowania, w szczególności własności: jeśli x<y oraz a>1, to ax < ay, zaś gdy x<y<0<1, to ax>ay,
6)posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej,
7)stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania i nierówności typu: |4+x|=5,|x −2|<3, |x +3|≥4,
8)wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów,
9)stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

II. Wyrażenia algebraiczne

1)stosuje wzory skróconego mnożenia na:
(a + b)2, (a – b)2, a2 – b2, (a + b)3, (a – b)3, a3 – b3, an – bn
2)dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych;
3)wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej,
4)rozkłada wielomiany na czynniki metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias oraz metodą grupowania wyrazów, w przypadkach nie trudniejszych niż rozkład wielomianu;
$W(x) = 2x^3 \ + \sqrt{3}x^2 + 4x – 2\sqrt{3} $,
5)znajduje pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych,
6)dzieli wielomian jednej zmiennej $ W(x) $ przez dwumian postaci $ x-a $;
7)mnoży i dzieli wyrażenia wymierne,
8)dodaje i odejmuje wyrażenia wymierne, w przypadkach nie trudniejszych niż: $ \frac{1}{x+1} – \frac{1}{x}, \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3}, \frac{x+1}{x+2} + \frac{x-1}{x+1}$ .

Równania i nierówności

1)przekształca równania i nierówności w sposób równoważny,
2)interpretuje równania i nierówności sprzeczne oraz tożsamościowe,
3)rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą,
4)rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe,
5)rozwiązuje równania wielomianowe, które dają się doprowadzić do równania kwadratowego, w szczególności równania dwukwadratowe,
6)rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x)=0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania,
7)rozwiązuje równania wymierne postaci $ \frac{V(x)}{W(x)} = 0$ , gdzie wielomiany V(x) i W(x)są zapisane w postaci iloczynowej.

IV. Układy równań

1)rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych,
2)stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych,
3)rozwiązuje metodą podstawiania układy równań, z których jedno jest liniowe, a drugie kwadratowe, postaci
$ \left\{\begin{array}{rcl}ax+by&=&e\\x^2+-y^2+cx+dy&=&f\end{array}\right. $ lub $ \left\{\begin{array}{rcl}ax+by&=&e\\y&=&cx^2+dx+f\end{array}\right. $

V. Funkcje

1)określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach),
2)oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym,
3)odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie,
4)odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane,
5)interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej,
6)wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach, 7)szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem,

8)interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje),
9)wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie,
10)wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym, 11)wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym,
12)na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji
y = f(x–a), y = f(x)+b, y = –f(x), y = f(-x),
13)posługuje się funkcją $ f(x) = \frac{a}{x} $, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych,
14)posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

VI. Ciągi

1)oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym,
2)oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie, jak w przykładach: $ \left\{\begin{array}{rcl}a_1&=&0,001\\a_{n+1}&=&a_n+\frac{1}{2}a_n(1-a_n)\end{array}\right. $
3)w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący,
4)sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny,
5)stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego,
6)stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego,
7)wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.