POZIOM ROZSZERZONY

 Zadanie 1   (4pkt)
W okrąg o równaniu $(x-1)^2+(y-2)^2=25$ wpisano trójkąt $ABC$.
Bok $AB$ tego trójkąta jest zawarty w prostej o równaniu $4x-3y+2=0$.
Wysokość $CD$ tego trójkąta dzieli bok $AB$ tak, że $|AD|=4\cdot|DB|$.
Oblicz pole trójkąta $ABC$. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź: $P=\frac{1}{2}\cdot|AB|\cdot|CD|=\frac{1}{2}\cdot10\cdot4=20$

Matura czerwiec 2024 poziom rozszerzony
 Zadanie 2   (4pkt)
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ czworokąt ABCD jest równoległobokiem takim, że $\vec{BD}=[-21,-7]$ i $\vec{DC}=[15,8]$.
Oblicz pole tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź: $\vec{BC}=\vec{BD}+\vec{DC}=[-21,-7]+[15.8]=[-6,1]\\|BC|=\sqrt{(-6)^2+1^2}=\sqrt{37}\\|CD|=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{289}=17\\|BD|=\sqrt{-21)^2+(-7)^2}=\sqrt{490}=7\sqrt{10}\\|BC|^2=|BD|^2+|CD|^2-2\cdot |BD|\cdot |CD|\cdot \cos \alpha\\37=490+289-2\cdot 7\sqrt{10}\cdot 17\cdot \cos \alpha\\ \cos \alpha=\frac{53}{17\sqrt{10}}$\\Kąt $\alpha$ jest kątem ostrym, więc\\$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2 \alpha}=\sqrt{1-\frac{2809}{2890}}=\sqrt{\frac{81}{2890}}=\frac{9}{17\sqrt{10}}\\P_{ABCD}=|CD|\cdot |BD|\cdot\sin\alpha\\P_{ABCD}=17\cdot 7\sqrt{10}\cdot\frac{9}{17\sqrt{10}}=63$.

Informator CKE
 Zadanie 3   (3pkt)
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ trapez $ABCD$ jest wpisany w okrąg o środku w punkcie $S=(19,-11)$ i promieniu $17\sqrt{2}$. Wierzchołek $A$ trapezu ma obie współrzędne ujemne, a odcinek $AB$ jest dłuższą z podstaw tego trapezu. Przekątna $AC$ trapezu $ABCD$ jest zawarta w prostej o równaniu $y=x$.
Oblicz sinus kąta $ABC$. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź: $(x-19)^2+(y+11)^2=578\\\left\{\begin{array}{rcl}(x-19)^2+(y+11)^2=578\\y=x\\\end{array}\right.\\(x-19)^2+(x+11)^2=578\\2x^2-16x-96=0\\x=-4$ lub $x=12$.\\Ponieważ wierzchołek A trapezu ma obie współrzędne ujemne, więc otrzymujemy $A=(-4,-4)$ oraz $C=(12,12).
|AC|=\sqrt{(12+4)^2+(12+4)^2}=16\sqrt{2}\\\frac{|AC|}{\sin|\angle ABC|}=2R\\ \sin|\angle ABC|=\frac{|AC|}{2R}=\frac{16\sqrt{2}}{34\sqrt{2}}=\frac{8}{17}$

Informator CKE
 Zadanie 4   (5pkt)
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ proste o równaniach $2x+y-4m-4=0$ oraz $x-3y+5m+5=0$ przecinają się w punkcie $P$ o współrzędnych $(x_p, y_p)$.
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których współrzędne punktu P spełniają warunki:
$x_p>0, y_p>0, y_p\geq x^2_p$ oraz $2<-\frac{8}{(y_p)^2}+\frac{8}{x_p}$. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź: $x_p=m+1\\y_p=2(m+1)\\m+1>0$ i $2(m+1)>0$
co daje $m\in(-1,+\infty).\\2(m+1)\geq(m+1)^2$ i $2<-\frac{8}{[2(m+1)]^2}+\frac{8}{m+1}\\m\in[-1,1]$ i $m\in(1-\sqrt{3}. 1+\sqrt{3})$ i $m\neq-1\\m\in(1-\sqrt{3}, 1]$ Ponieważ $m\in(-1,+\infty)$ i $m\in(1-\sqrt{3},1]$, więc ostatecznie $m\in(1-\sqrt{3},1]\\$. Informator CKE
 Zadanie 5   (6pkt)
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dany jest równoległobok $ABCD$ o wierzchołkach $A=(-8,-1)$ i $D=(-13,9)$ oraz środku symetrii $M=(-\frac{9}{2}, 1)$. Okrąg $\partial$ przechodzi przez początek tego układu i jest styczny do prostych zawierających boki AB i BC tego równoległoboku. Druga współrzędna środka okręgu $\partial$ jest liczbą ujemną.
Wyznacz równanie okręgu $\partial$. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź: Okrąg $\partial$ ma równanie $(x+1)^2+(y+2)^2=5$.

Matura czerwiec 2025 poziom rozszerzony
 Zadanie 6   (5pkt)
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dane są okręgi $\partial_1$ oraz $\partial_2$ o równaniach:
$\partial_1: (x-1)^2+(y+3)^2=5$
$\partial_2: (x-2)^2+(y-4)^2=45$
Te okręgi przecinają się w punktach $A$ oraz $B$. Punkt $A$ ma pierwszą współrzędną dodatnią. Punkt $ M$ spełnia warunek $\vec{AM}=-2\cdot \vec{BM}$.
Oblicz współrzędne punktów $A$, $B$ oraz $M$.
Zapisz obliczenia.
Odpowiedź: $A=(\frac{16}{5}, -\frac{13}{5}), B=(-1,-2), M=(\frac{2}{5}, -\frac{11}{5})$
Matura maj 2025 poziom rozszerzony
 Zadanie 7   (4pkt)
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dane są: okrąg o równaniu $(x+y)^2+(y-3)^2=50$ i punkty $A=(6,4)$ oraz $B=(-6,8)$. Punkt $C$ leży na tym okręgu i $|AC|=|BC|$.
Oblicz współrzędne punktu $C$. Rozważ wszystkie przypadki.
Zapisz obliczenia.
Odpowiedź $C=(\sqrt{5}-1, 3\sqrt{5}+3)$ lub $C=(-\sqrt{5}-1, -3\sqrt{5}+3)$.

Matura grudzień 2024 poziom rozszerzony
 Zadanie   (2pkt)
Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{12x-84}{x-8}$ dla każdego $x\in(-\infty, 8)$.
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ rozważamy wszystkie czworokąty $OBCD$, w których:
$\bullet$ wierzchołek O ma współrzędne $(0,0)$
$\bullet$ wierzchołki $B$ oraz $D$ są punktami przecięcia wykresu funkcji $f$ z osią – odpowiednio – $Ox$ i $Oy$
$\bullet$ wierzchołek $C$ ma obie współrzędne dodatnie i leży na wykresie funkcji $f$
(zobacz rysunek).
Wykaż, że pole $P$ czworokąta $OBCD$ w zależności od pierwszej współrzędnej $x$ punktu $C$ jest określone wzorem
$P(x)=\frac{21}{4}\cdot \frac{x^2-56}{x-8}$.
Odpowiedź Pole P czworokąta OBCD jest sumą pól trójkątów OCD i OBC, więc\\$P=P_{OCD}+P_{OBC}=\frac{1}{2}\cdot \frac{21}{2}\cdot x+\frac{1}{2}\cdot 7\cdot \frac{12x-84}{x-8}=\frac{21}{4}\cdot \frac{x^2-8x+8x-56}{x-8}=\frac{21}{4}\cdot \frac{x^2-56}{x-8}$, gdzie $x\in(0,7)$.

Matura grudzień 2024 poziom rozszerzony
 Zadanie   (2pkt)
Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{12x-84}{x-8}$ dla każdego $x\in(-\infty, 8)$.
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ rozważamy wszystkie czworokąty $OBCD$, w których:
$\bullet$ wierzchołek $O$ ma współrzędne $(0,0)$
$\bullet$ wierzchołki $B$ oraz $D$ są punktami przecięcia wykresu funkcji $f$ z osią – odpowiednio – $Ox$ i $Oy$
$\bullet$ wierzchołek $C$ ma obie współrzędne dodatnie i leży na wykresie funkcji $f$
(zobacz rysunek).

Wykaż, że pole $P$ czworokąta $OBCD$ w zależności od pierwszej współrzędnej $x$ punktu $C$ jest określone wzorem
$P(x)=\frac{21}{4}\cdot \frac{x^2-56}{x-8}$.
Odpowiedź Pole P czworokąta OBCD jest sumą pól trójkątów $OCD$ i $OBC$, więc
$P=P_{OCD}+P_{OBC}=\frac{1}{2}\cdot \frac{21}{2}\cdot x+\frac{1}{2}\cdot 7\cdot \frac{12x-84}{x-8}=\frac{21}{4}\cdot \frac{x^2-8x+8x-56}{x-8}=\frac{21}{4}\cdot \frac{x^2-56}{x-8}$, gdzie $x\in(0,7)$.

Matura grudzień 2024 poziom rozszerzony