POZIOM ROZSZERZONY
| Zadanie 1 (4pkt) W okrąg o równaniu $(x-1)^2+(y-2)^2=25$ wpisano trójkąt $ABC$. Bok $AB$ tego trójkąta jest zawarty w prostej o równaniu $4x-3y+2=0$. Wysokość $CD$ tego trójkąta dzieli bok $AB$ tak, że $|AD|=4\cdot|DB|$. Oblicz pole trójkąta $ABC$. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie 2 (4pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ czworokąt ABCD jest równoległobokiem takim, że $\vec{BD}=[-21,-7]$ i $\vec{DC}=[15,8]$. Oblicz pole tego równoległoboku. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie 3 (3pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ trapez $ABCD$ jest wpisany w okrąg o środku w punkcie $S=(19,-11)$ i promieniu $17\sqrt{2}$. Wierzchołek $A$ trapezu ma obie współrzędne ujemne, a odcinek $AB$ jest dłuższą z podstaw tego trapezu. Przekątna $AC$ trapezu $ABCD$ jest zawarta w prostej o równaniu $y=x$. Oblicz sinus kąta $ABC$. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie 4 (5pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ proste o równaniach $2x+y-4m-4=0$ oraz $x-3y+5m+5=0$ przecinają się w punkcie $P$ o współrzędnych $(x_p, y_p)$. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których współrzędne punktu P spełniają warunki: $x_p>0, y_p>0, y_p\geq x^2_p$ oraz $2<-\frac{8}{(y_p)^2}+\frac{8}{x_p}$. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie 5 (6pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dany jest równoległobok $ABCD$ o wierzchołkach $A=(-8,-1)$ i $D=(-13,9)$ oraz środku symetrii $M=(-\frac{9}{2}, 1)$. Okrąg $\partial$ przechodzi przez początek tego układu i jest styczny do prostych zawierających boki AB i BC tego równoległoboku. Druga współrzędna środka okręgu $\partial$ jest liczbą ujemną. Wyznacz równanie okręgu $\partial$. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie 6 (5pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dane są okręgi $\partial_1$ oraz $\partial_2$ o równaniach: $\partial_1: (x-1)^2+(y+3)^2=5$ $\partial_2: (x-2)^2+(y-4)^2=45$ Te okręgi przecinają się w punktach $A$ oraz $B$. Punkt $A$ ma pierwszą współrzędną dodatnią. Punkt $ M$ spełnia warunek $\vec{AM}=-2\cdot \vec{BM}$. Oblicz współrzędne punktów $A$, $B$ oraz $M$. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie 7 (4pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dane są: okrąg o równaniu $(x+y)^2+(y-3)^2=50$ i punkty $A=(6,4)$ oraz $B=(-6,8)$. Punkt $C$ leży na tym okręgu i $|AC|=|BC|$. Oblicz współrzędne punktu $C$. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie (2pkt) Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{12x-84}{x-8}$ dla każdego $x\in(-\infty, 8)$. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ rozważamy wszystkie czworokąty $OBCD$, w których: $\bullet$ wierzchołek O ma współrzędne $(0,0)$ $\bullet$ wierzchołki $B$ oraz $D$ są punktami przecięcia wykresu funkcji $f$ z osią – odpowiednio – $Ox$ i $Oy$ $\bullet$ wierzchołek $C$ ma obie współrzędne dodatnie i leży na wykresie funkcji $f$ (zobacz rysunek). Wykaż, że pole $P$ czworokąta $OBCD$ w zależności od pierwszej współrzędnej $x$ punktu $C$ jest określone wzorem $P(x)=\frac{21}{4}\cdot \frac{x^2-56}{x-8}$. |
| Zadanie (2pkt) Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{12x-84}{x-8}$ dla każdego $x\in(-\infty, 8)$. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ rozważamy wszystkie czworokąty $OBCD$, w których: $\bullet$ wierzchołek $O$ ma współrzędne $(0,0)$ $\bullet$ wierzchołki $B$ oraz $D$ są punktami przecięcia wykresu funkcji $f$ z osią – odpowiednio – $Ox$ i $Oy$ $\bullet$ wierzchołek $C$ ma obie współrzędne dodatnie i leży na wykresie funkcji $f$ (zobacz rysunek).  Wykaż, że pole $P$ czworokąta $OBCD$ w zależności od pierwszej współrzędnej $x$ punktu $C$ jest określone wzorem $P(x)=\frac{21}{4}\cdot \frac{x^2-56}{x-8}$. |
| Zadanie (6pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ prosta o równaniu $3x+y+2=0$ przecina parabolę o równaniu $y=x^2-2x-8$ w punktach $A$ oraz $B$, które są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku $ABCD$. Wierzchołek $A$ ma pierwszą współrzędną ujemną. Wierzchołek $C$ leży na prostej o równaniu $y=-\frac{1}{2}x+1$ i ma pierwszą współrzędną dodatnią. Odległość punktu $C$ od prostej zawierającej bok $AB$ równoległoboku jest równa $\frac{9\sqrt{10}}{5}$. Oblicz długość boku $BC$ tego równoległoboku. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie (5pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ środek $S$ okręgu o promieniu $\sqrt{5}$ leży na prostej o równaniu $y=x+1$. Przez punkt $A=(1,2)$, którego odległość od punktu S jest większa od $\sqrt{5}$, poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – $B$ i $C$. Pole czworokąta $ABSC$ jest równe $15$. Oblicz współrzędne punktu $S$. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie (6pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ prosta l o równaniu $x-y-2=0$ przecina parabolę o równaniu $y=4x^2-7x+1$ w punktach $A$ oraz $B$. Odcinek $AB$ jest średnicą okręgu $\partial$. Punkt $C$ leży na okręgu $\partial$ nad prostą l, a kąt BAC jest ostry i ma miarę $\alpha$ taką, że $tg\alpha=\frac{1}{3}$ (zobacz rysunek).  Oblicz współrzędne punktu $ C$. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie (6pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ punkt $A=(9,12)$ jest wierzchołkiem trójkąta $ABC$. Prosta $k$ o równaniu $y=\frac{1}{2}x$ zawiera dwusieczną kąta $ABC$ tego trójkąta. Okrąg $\partial$ o równaniu $(x-8)^2+(y-4)^2=16$ jest wpisany w ten trójkąt. Oblicz współrzędne punktu styczności prostej przechodzącej przez wierzchołki $B$ i $C$ tego trójkąta z okręgiem $\partial$. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie (2pkt) Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ za pomocą fragmentów wykresów funkcji $f$ oraz $g$ (zobacz rysunek).  Funkcje $f$ oraz $g$ są określone wzorami $f(x)=x^2$ oraz $g(x)=-\frac{1}{2}(x-\frac{1}{2})^2+4$. Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt $P=(-1,1)$. Niech $R$ będzie punktem leżącym na wykresie funkcji $g$. Wykaż, że odległość punktu R od punktu P wyraża się wzorem |