POZIOM ROZSZERZONY
| Zadanie 1 (2pkt) W chwili początkowej $(t=0)$ zainicjowano pewną reakcję chemiczną, w której brał udział związek A. W wyniku tej reakcji masa m związku A zmieniała się w czasie zgodnie z zależnością $m(t)=a\cdot 2^{-0,05\cdot t}+b$ dla $t\geq0$ gdzie: $m$– masa związku A wyrażona w gramach, $t$ – czas wyrażony w sekundach (liczony od chwili $t=0$), $a,b$ – współczynniki liczbowe. Masa początkowa związku A (tj. masa w chwili $t=0$) była równa $m_0$ gramów. Po osiągnięciu stanu równowagi (tj. gdy $t\to\infty$) masa tego związku była równa $\frac{1}{9}$ jego masy początkowej (zobacz rysunek).  Oblicz, po ilu sekundach (licząc od chwili zainicjowania tej reakcji) przereagowało $87,5$ / |
| Zadanie 2 (3pkt) Funkcja f jest określona wzorem $f(x)=x^6-2x^4-x^3+1$ dla każdego $x\in\mathscr{R}$. Wykaż, że liczba $5$ należy do zbioru wartości tej funkcji. |
| Zadanie 3 (3pkt) Funkcja f jest określona wzorem $f(x)=\frac{-3x+41}{x-13}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq13$. Punktem kratowym nazywamy punkt w kartezjańskim układzie współrzędnych, którego obie współrzędne są liczbami całkowitymi. Wyznacz wszystkie punkty kratowe należące do wykresu funkcji $f$. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie 2 (4pkt) Rozpatrujemy wszystkie takie prostopadłościany, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa $80$, pole powierzchni całkowitej jest równe $256$ i długości wszystkich krawędzi są nie mniejsze niż $4$. Wykaż, że układ równań $4a+4b+4c=80\\2ab+2bc+2ca=256$ z niewiadomymi $a$ oraz $b$ ma rozwiązanie, które jest parą liczb rzeczywistych nie mniejszych od $4$ wtedy i tylko wtedy, gdy $c\in[4, \frac{28}{3}]$. |
| Zadanie 3 (2pkt) W warunkach laboratoryjnych obserwowano dynamikę wzrostu liczebności populacji pewnego gatunku bakterii. Liczebność $N$ populacji bakterii zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą $N(t)=N_0\cdot k^t$ dla $t\geq0$, gdzie $ N_0$ – liczebność populacji w chwili $t=0$ rozpoczęcia obserwacji, $k$ – stała dodatnia, charakterystyczna dla danego gatunku bakterii i dla warunków przeprowadzenia obserwacji, $ t$ – czas wyrażony w godzinach, liczony od chwili $t=0$ rozpoczęcia obserwacji. W chwili rozpoczęcia obserwacji liczebność populacji była równa $10000$, a po dwóch godzinach była równa $15625$. Oblicz, o ile procent wzrastała liczebność populacji tej bakterii w ciągu każdej godziny. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie 7 (2pkt) Ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze można opisać zależnością $Q(t)=Q_0\cdot\beta^{-t}$ dla $t\geq0$ gdzie: $Q_0$ – ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze w chwili początkowej $(t=0)$ wyrażony w milikulombach Q – ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze w chwili t (licząc od chwili początkowej) wyrażony w milikulombach $\beta$ – stała dodatnia t– czas wyrażony w sekundach. Wiadomo, że w chwili $t=4$ s w kondensatorze był zgromadzony ładunek $2$ milikulombów, a w chwili $t=6$ s – ładunek $18$ milikulombów. Oblicz, ile milikulombów ładunku było zgromadzone w tym kondensatorze w chwili $t=5$ s. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie 8 (2pkt) W chwili początkowej $(t=0)$ filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa $80^{\circ}$C. Temperatura w pokoju (temperatura otoczenia) jest stała i równa $20^{\circ}$C. Temperatura $T$ tej kawy zmienia się w czasie zgodnie z zależnością $T(t)=(T_p-T_z)\cdot k^{-t}+T_z$ dla $t\geq0$ gdzie: $ T$ – temperatura kawy wyrażona w stopniach Celsjusza, $ t$ – czas wyrażony w minutach, liczony od chwili początkowej, $T_p$ – temperatura początkowa kawy wyrażona w stopniach Celsjusza, $T_z$– temperatura otoczenia wyrażona w stopniach Celsjusza, $k$ – stała charakterystyczna dla danej cieczy. Po $10$minutach, licząc od chwili początkowej, kawa ostygła do temperatury $65^{\circ}$C. Oblicz temperaturę tej kawy po następnych pięciu minutach. Wynik podaj w stopniach Celsjusza, w zaokrągleniu do jedności. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie (2pkt) W chwili początkowej $(t=0)$ masa substancji jest równa $4$ gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa $19%$ masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej $t\geq0$ funkcja $m(t)$ określa masę substancji w gramach po t pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej). Wyznacz wzór funkcji $m(t)$. Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od $1,5$ grama. Zapisz obliczenia. |