POZIOM ROZSZERZONY
| Zadanie 1 (5pkt) Ciąg $(a_n)$ określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$, jest arytmetyczny i rosnący. W tym ciągu $a_6=15$ oraz $a_{15}=a_3\cdot (a_8-6)$. Ciąg $(b_n)$ określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$, jest geometryczny i $b_1=a_{11}$ oraz $b_2=a_6$. Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu $(b_n)$. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie 2 (4pkt) Ciąg $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$, jest geometryczny i zbieżny. W tym ciągu $a_1+a_3=20$ i $a^2_1+a^2_3=328$. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie 3 (5pkt) Trzeci i piąty wyraz malejącego ciągu arytmetycznego $(a_n)$ określonego dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$, spełniają warunek $a_3+a_5=10$. Trzywyrazowy ciąg $(2a_1+4, a_4-1, -\frac{1}{8}a_7)$ jest geometryczny. Oblicz wyrazy tego ciągu geometrycznego. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie 8 (4pkt) Oblicz granicę $\lim\limits_{(n\to+\infty)}\frac{1+3+5+7+…+(2n+1)}{(^n_2)}$, gdzie $1+3+5+7+…+(2n+1)$ jest sumą kolejnych liczb naturalnych nieparzystych. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie (3pkt) Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=(n+5)^2\cdot (\frac{p+1}{(n+1)(n+2)}+\frac{2p+2}{(n+2)(n+3)})$ dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$ Wyznacz wszystkie wartości parametru p, dla których granica ciągu $(a_n)$ jest równa $12$. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie (4pkt) W nieskończonym malejącym ciągu geometrycznym $(a_n)$, określonym dla $n\geq1$ jest spełniony warunek $\frac{a_5+a_3}{a_3}=\frac{29}{25}$ Suma wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa $6$. Wyznacz wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu $(a_n)$. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie (5pkt) Ciąg $(a,b,c)$ jest trzywyrazowym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Ciąg $(2a,2b,c+1)$ jest trzywyrazowym ciągiem arytmetycznym. Ponadto spełniony jest warunek $c-b=6$. Oblicz $a$, $b$ oraz $c$. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie (4pkt) Określamy kwadraty $K_1,K_2,K_3,…$ następująco: • $K_1$ jest kwadratem o boku długości $a$ • $K_2$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_1$ i dzieli ten bok w stosunku $1\colon3$ • $K_3$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_2$ i dzieli ten bok w stosunku $1\colon3$ i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej $n\geq2$, • $K_n$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_{n-1}$ i dzieli ten bok w stosunku $1\colon3$. Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.  Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie (4pkt) Nieskończony ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$. Suma wszystkich wyrazów ciągu $(a_n)$ o numerach nieparzystych jest równa $16$, tj. $a_1+a_3+a_5+…=16$ Ponadto $a_1+a_3=\frac{5}{2}\cdot a_2$. Wyznacz wzór ogólny na n–ty wyraz ciągu $(a_n)$. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie (4pkt) Trzywyrazowy ciąg $(x,y,z)$ jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa $105$. Liczby $x$, $y$ oraz z są – odpowiednio – pierwszym, drugim oraz szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego $(a_n)$, określonego dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$. Oblicz $x$, $y$ oraz $z$. Zapisz obliczenia. |
| Zadanie (4pkt) Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$. Suma trzech początkowych wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równa $7$, a suma $S$ wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa $8$. Wyznacz wszystkie wartości $n$, dla których spełniona jest nierówność $ |\frac{S-S_n}{S_n}|<0,001$ gdzie $S_n$ oznacza sumę n początkowych wyrazów ciągu $(a_n). \\ $ Zapisz obliczenia. |
| Zadanie (3pkt) Oblicz granicę $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{6^n+7^n}$. Zapisz obliczenia. |