Temat: Powtórzenie wiadomości ciągi
Przed środową kartkówką zapoznajcie się z rozwiązaniami zadań zaproponowanymi przez Alana (zapisanymi w Latex 🙂 )
Zestawy zadań zamkniętych obowiązują również jako przygotowanie do kartkówki.
Zadanie 1 Iloczyn trzech dodatnich liczb tworzących (w podanej kolejności) ciąg geometryczny wynosi 1000. Ostatnia z tych liczb jest 4 razy większa od pierwszej. Wyznacz te liczby
$a_1 = x $
$a_2 = y $
$a_3 = 4x$
$x*y*4x = 1000$
$y^2 = x*4x$
$y^2 = 4x^2$
$y = 2x$
$x*y*4x = 1000$$
$x*2x*4x = 1000$
$8x^3 = 1000$
$x^3 = 125$
$x = 5$
$ODP: a_1 = 5, a_2 = 10, a_3 = 20$
Zadanie 2 Wyznacz a i b, jeśli trzy pierwsze liczby (w podanej kolejności) tworzą ciąg arytmetyczny, a ostatnie trzy (w podanej kolejności) – geometryczny: 4,a,b,4
$a_1 = 4$
$a_2 = a$
$a_3 = b$
$a_4 = 4$
$b^2 = 4a$
$a = \frac{4+b}{2} = 2+\frac{1}{2}b$
$b^2 = 8+2b$
$b^2-2b-8 = 0$
$\Delta = 36$
$\sqrt{\Delta} = 6$
$b_1 = \frac{2-6}{2} = -2$
$b_2 = \frac{2+6}{2} = 4$
$b^2 = 4a$
$4 = 4a$
$a_1 = 1$
$16 = 4a$
$a_2 = 4$
$ODP: a = 1; b = -2$
Zadanie 3 W ciągu geometrycznym $q = 2$, suma ośmiu początkowych wyrazów jest równa $ 765$. Wyznacz $a_1 $
$q = 2$
$S_8 = 765$
$S_n = a_1*\frac{1-q^n}{1-q}$
$765 = a_1*\frac{1-2^8}{1-2}$
$765 = a_1*255$
$a_1 = 3$
$ODP: a_1 = 3$
Zadanie 4 Ewa przeczytała w czasie ferii czterotomowe dzieło. Pierwszego dnia przeczytała 20 stron, a każdego następnego o 20 stron więcej. W sumie przeczytała 1100 stron. Oblicz, przez ile dni Ewa czytała to dzieło.
$a_1 = 20$
$r = 20$
$S_n = 1100$
$a_n = a_1+(n-1)*r$
$S_n = \frac{a_1+a_n}{2}*n $
$S_n = \frac{2a_1+20n-20}{2}*n $
$S_n = \frac{20+20n}{2}*n $
$S_n = 10n+10n^2 $
$1100 = 10n+10n^2$
$10n^2+10n-1100 = 0 |:10$
$n^2+n-110 = 0$
$\Delta = 441$
$\sqrt{\Delta} = 21$
$n_1 = \frac{-1+21}{2} = 10$
$n_2 = \frac{-1-21}{2} = -11$
$ODP: 10 dni$
Zadanie 5 Dla jakiej wartości a podane wyrażenia $ a+1, 2a+6, a+21$ są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego?
$a_1 = a+1$
$a_2 = 2a+6$
$a_3 = a+21 $
$ a_n = \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$
$2a+6 = \frac{a+1+a+21}{2}$
$2a+6 = \frac{2a+22}{2}$
$2a+6 = a+11$
$a = 5$
$ODP: a = 5$
Zadanie 6 Dla jakiej wartości y, podane wyrażenia $ y, 6, 3y+3 $ stanowią kolejne wyrazy ciągu geometrycznego?
$a_1 = y$
$a_2 = 6$
$a_3 = 3y+3$
$b^2 = a*c$
$6^2 = y*(3y+3)$
$36 = 3y^2+3y$
$3y^2+3y-36 = 0$
$\Delta = 441$
$\sqrt{\Delta} = 21$
$y_1 = \frac{-3-21}{6} = -4$
$y_2 = \frac{-3+21}{6} = 3$
$ODP: y = -4 \wedge y = 3$